Два определения предела функции в точке, их эквивалентность.

Пусть $f(x): X \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $a \in X'$, тогда $A$ - предел в точке $a$, если $$\forall{\varepsilon>0}~~ \exists{\delta>0}~~ \forall{x \in X}~~ 0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x) - A| < \varepsilon$$

Если $\forall{\{x_{n}\} \in X \setminus \{a\}}~~ x_{n} \to a \Rightarrow \lim_{n \to \infty} f(x_{n}) = A$, то $A$ - предел $f(x)$ в точке $a$

Коши $\Large\implies$ Гейне: По определению предела по Коши: $$\forall{\varepsilon > 0}~~ \exists{\delta > 0}~~ 0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x) - A| < \varepsilon~~~~(*)$$ Возьмём произвольную $\{x_{n}\}$, сходящуюся к $a$, тогда по определению: $$\forall{\delta(\varepsilon)}~~ \exists{N(\delta(\varepsilon))}~~ \forall{n>N}~~ |x_{n}-a|<\delta$$ Но тогда из $(*)$ следует, что $|f(x_{n}) - A| < \varepsilon$. Собираем всё вместе, получаем определение по Гейне. Гейне $\Large\implies$ Коши: От противного: отрицание определения по Коши: $$\exists{\varepsilon > 0}~~ \forall{\delta > 0}~~ \exists{x \in X}~~ 0 < |x-a|<\delta \land |f(x) - A| \geq \varepsilon_{0}$$ Пусть $\delta = 1$, тогда: $$\exists{x_{1} \in X}~~ 0 < |x_{1}-a|<1 \land |f(x) - A| \geq \varepsilon_{0}$$ $$\delta = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \exists{x_{2} \in X}~~ 0 < |x_{2}-a|< \dfrac{1}{2} \land |f(x) - A| \geq \varepsilon_{0}$$ $$\delta = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \exists{x_{3} \in X}~~ 0 < |x_{3}-a|< \dfrac{1}{3} \land |f(x) - A| \geq \varepsilon_{0}$$ $$\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$$ $$\delta = \dfrac{1}{n} \Rightarrow \exists{x_{n} \in X}~~ 0 < |x_{n}-a|< \dfrac{1}{n} \land |f(x) - A| \geq \varepsilon_{0}$$ Получаем $\{x_{n}\}$ такую, что $x_{n} \neq a, x_{n} \to a$, но $f(x_{n}) \cancel{ \to } A$ - противоречие с определением по Гейне. $\square$